Как преобразовать мгновенную форму записи в комплексную и обратно

В общем случае мгновенная форма записи любой величины выглядит следующим образом:

u(t) = Um·sin(ωt+ϕ)

Эта запись показывает как меняется та или иная величина в зависимости от времени. Вместо синуса может быть косинус, это ничего в дальнейших действиях не меняет.

Обратим внимание, что перед тригонометрической фунцкией всегда записывается амплитудное (то есть максимально возможное значение) величины. При этом в электротехнике в большинстве случаев расчеты ведутся в действующих, а не амплитудных значениях. Если нужны амплитудные, то это указывается в условиях задания.

Проще всего от мгновенной формы сразу перейти к показательной форме записи комплексного числа. Для этого запишем модуль числа, умноженный на "e", в стемени которой указан угол начальной фазы "ф":

Разумеется, это будет амплитудное значение. Чтобы перевести в действующее достаточно вспомнить, что оно меньше амплитудного в √2 раза, тогда получим:

Рассмотрим пример. Задано мгновенное значение тока цепи:

Необходимо записать в комплексной форме его действующее значение. Как указано выше, запишем:

Как видите, множитель 314 перед переменной времени "t" в преобразованиях не участвует.

Преобразование из показательной формы записи комплексного числа в мгновенную форму производится, используя те же вычисления в обратном порядке. Предположим, задано действующее значение напряжения:

Сначала определим амплитудное значение напряжения, умножив модуль действующего значения на √2:

Записываем мгновенную форму, используя рассчитанную амплитуду и угол начальной фазы, известный из показательной формы записи:

Циклическую частоту цепи ω определить из комплексного числа невозможно, поэтому ее или просто записывают греческой буквой "омега" или определяют из дополнительных условий - например, из указанной частоты цепи.

Итак, простой алгоритм перевода мгновенной формы записи величины в показательную форму комплексного числа:

Определяем модуль действующего значения, разделив амплитудное значение на √2

Записываем итоговое выражение, используя фазовый угол из начальной фазы для мгновенного значения

И последнее - вы наверняка обратили внимание, что мы переводим в показательную форму записи. Что же делать, если надо переводить в алгебраическую? Все очень просто - сначала переводим в показательную, а потом уже из нее, по формуле Эйлера, в алгебраическую. Об этом подробно мы уже писали:

Как преобразовать показательную форму записи комплексного числа в алгебраическую

Или, для обратных преобразований:

Как преобразовать алгебраическую форму записи комплексного числа в показательную