Как преобразовать алгебраическую форму записи величины в показательную

В общем случае алгебраическая форма записи комплексной величины выглядит следующим образом:

x = a + i*b

Но это математическая запись. В электротехнике принято мнимую единицу обозначать не "i", а буквой "j" (это сделано для того, чтобы не было путаницы с токами, которые чаще всего и обозначаются латинской буквой "i"). Тогда в электротехнике вы скорее всего увидите запись:

x = a+j*b

При этом мнимая единица может стоять как первым множителем, так и вторым. То есть это же число можно записать:

x = a+b*j

Часть комплексного числа без мнимой единицы называется "Действительной" и чаще всего обозначается Re (от английского Real - действительный, настоящий)

Часть комплексного числа с мнимой единицой называется также "Мнимой" и обозначается Im (от английского Imaginary - воображаемый)

Что касается показательной формы записи, то в она обычно выглядит так:

x=A*e

Здесь буква "А" - модуль величины, буква "е" ничего не значит и просто указывает, что это показательная форма записи (так как остальные данные записаны в показатель степени). Буква "j" в степени тоже просто обозначает комплексное число, а вот "φ" - это угол в градусах или радианах.

Чтобы легко понять как эти формы записи связаны друг с другом, достаточно рассмотреть изображение вектора на комплексной плоскости:

Решение зада по электротехнике - Показательная форма записи комплексных чисел

Очевидно, что такой вектор можно задать, указав его длину и угол поворота - это и есть показательная форма записи комплексных числел. То, что в нашем примере обозначено буквой "А" - длина вектора, а число в показателе степени - угол поворота

Еще один споосб точного описания вектора - указать его проекции на координатные оси. Например "отложим пять единиц по горизонтальной оси и три по вертикальной". Именно так и работает алгебраическая форма записи:

Решение зада по электротехнике - Показательная форма записи комплексных чисел

Тогда становится понятно - чтобы перевести из алгебраической формы записи в показательную, нужно определить длину вектора и угол его поворота. Длина вектора определятся, исходя из того, то сам вектор это гипотенуза прямоугольного треугольника, а его проекции - катеты. Тогда по закону Пифагора:

Решение зада по электротехнике - Показательная форма записи комплексных чисел

Поскольку тангенс угла есть отношение противолежащего катета к прилежащему:

Решение зада по электротехнике - Показательная форма записи комплексных чисел

Можно легко определить нужный угол:

Решение зада по электротехнике - Показательная форма записи комплексных чисел

Разберем на практическом примере. Пусть в алгебраической форме задано значение тока:

Решение зада по электротехнике - Показательная форма записи комплексных чисел

Необходимо записать это число в показательной форме. Здесь действительная чатсть Re(I)=7, мнимая часть Im(I)=16. Сначала определим длину вектора (говоря по-другому - модуль тока):

Решение зада по электротехнике - Показательная форма записи комплексных чисел

Теперь рассчитаем угол поворота вектора:

Решение зада по электротехнике - Показательная форма записи комплексных чисел

Записываем результат:

Решение зада по электротехнике - Показательная форма записи комплексных чисел

Все весьма несложно. Однако, существует один хитрый момент, который нужно иметь ввиду. Предположим, нам задан задан ток в алгебраической форме I=-3-j3. Построим его на комплексной плоскости для наглядности:

Решение зада по электротехнике - Показательная форма записи комплексных чисел

С определением длины вектора трудностей не возникнет. Однако, как только мы попытаемся определить угол, то увидим:

Решение зада по электротехнике - Показательная форма записи комплексных чисел

Очевидно, угол здесь не может быть 45 градусов. Он должен быть или минус 135 или плюс 225 градусов. Так происходит из-за того, что в формуле арктангенса оказались два отрицательных числа. Грубо говоря, знак "минус" сокращается и арктангенс показывает тот же угол, что и при положительных значениях. Чтобы избежать такой ошибки, досточно ввести правило на случай отрицательной действительной части:

Решение зада по электротехнике - Показательная форма записи комплексных чисел

Итак, простой алгоритм перевода алгебраической формы записи комплексного числа в показательную:

  • Определяем длину вектора по правилу Пифагора
  • Рассчитываем угол для показательной формы. При этом, если действительная часть числа отрицательна, к получившемуся значению добавляем 180 градусов (или величину π/2, если считаем в радианах)
  • Записываем итоговое выражение