Как легко умножать и делить комплексные числа.

В общем случае комплексные числа могут быть заданы в двух формаз записи - показательной или алгебраической. Рассмотрим оба случая.

Умножать и делить числа, записанные в показательной форме очень просто. Главное - помнить, что в показательной форме любое число задается двумя параметрами - модулем и аргументом. Модуль - это часть числа до буквы "е", показывающая длину вектора. Агрумент - число в степени буквы "е" (то есть показатель степени, откуда и происходит название формы записи). Агрумент задает угол поворота вектора.

Перемножать такие числа проще некуда - сначала перемножаем модули, а аргументы просто складыавем и все!

Делить не намного сложнее - сначала делим модули чисел, а затем из аргумента числителя вычитаем аргумент знаменателя. Например, для тех же X и Y:

Ситуация немного усложняется, если у вас два числа, записанных в алгебраической форме. Однако и здесь разобраться можно за несколько минут. Можно вообще схитрить и сначала перевести числа из алгебраической формы в показательную. А затем поступить так, как описано выше.

Умножение двух чисел в алгебраической форме обычно не представляет сложности - просто раскрываем скобки, отдельно суммируем числа без мнимой единицы и отдельно - с ней. Основной момент - не забывать, что мнимая единица, умноженная сама на себя (то есть в квадрате) равна минус один:

Пример умножения двух чисел в алгебраической форме записи:

Самый сложный случай - деление двух чисел в алгебраической форме записи. Но и тут дел на пару минут - вся хитрость в том, что нужно умножить всю дробь на комплескно-сопряженное к знаменателю. Это позволит нам избавиться от комплексного числа в знаменателе. "Комплексно-сопряженное" - это число, у которого изменен знак мнимой части. Чаще всего обозначается звездочкой в верхнем индексе:

Трюк в том, что, если умножить любое комплексное число на его сопряженное, то мы всегда получим сумму квадратов двух чисел (можете проверить это, подставив комплексно-сопряженные числа в пример умножения, описанный выше):

Зная это, можно легко делить два числа в алгебраической форме:

Вот и все. Подведем итоги, записав алгоритм действий

Для комплексных чисел в показательной форме при их умножении:

Перемножаем модули чисел.

Складываем аргументы чисел (углы в градусах или радианах)

Записываем результат.

Для комплексных чисел в показательной форме при их делении:

Делим модули чисел.

Вычитаем аргумент знаменателя (делителя) из аргумента числителя (делимого)

Записываем результат.

Для комплексных чисел в алгебраической форме при их умножении:

По правилам арифментики раскрываем скобки, обращая особое внимание на момент, когда мнимая единица возводится в квадрат - тогда это произведение меняет знак.

Группируем числа без мнимой единицы в действительную часть числа, с мнимой единицей - в мнимую часть

Записываем результат.

Для комплексных чисел в алгебраической форме при их делении:

Умножаем всю дробь на комплексно-сопряженное к знаменателю

Раскрываем скобки в числителе, группируя действительную и мнимую части

Вычисляем знаменатель как сумму квадратов двух чисел

Делим отдельно действительную и мнимую части числителя на число в знаменателе

Записываем результат.