Как легко умножать и делить комплексные числа.

В общем случае комплексные числа могут быть заданы в двух формаз записи - показательно или алгебраической. Рассмотрим оба случая.

Умножать и делить числа, записанные в показательной форме очень просто. Главное - помнить, что в показательной форме любое число задается двумя парамтрами - модулем и аргументом. Модуль - это часть числа до буквы "е", показывающая длину вектора. Агрумент - число в степени буквы "е" (то есть показатель степени, откуда и происходит название формы записи). Агрумент задает угол поворота вектора.

Перемножать такие числа проще некуда - сначала перемножаем модули, а аргументы просто складыавем и все!

Решение зада по электротехнике - Умножение и деление комплексных чисел

Делить не намного слолжнее - сначала делим модули чисел, а затем из аргумента числителя вычитаем аргумент знаменателя. Например, для тех же X и Y:

Решение зада по электротехнике - Умножение и деление комплексных чисел

Ситуация немного усложняется, если у вас два числа, записанных в алгебраической форме. Однако и здесь разобраться можно за несколько минут. Можно вообще схитрить и сначала перевести числа из алгебраической формы в показательную. А затем поступить так, как описано выше.

Умножение двух чисел в алгебраической форме обычно не представляет сложности - просто раскрываем скобки, отдельно суммируем числа без мнимой единицы и отдельно - с ней. Основной момент - не забывать, что мнимая единица, умноженная сама на себя (то есть в квадрате) равна минус один:

Решение зада по электротехнике - Умножение и деление комплексных чисел

Пример умножения двух чисел в алгебраической форме записи:

Решение зада по электротехнике - Умножение и деление комплексных чисел

Самый сложный случай - деление двух чисел в алгебраической форме записи. Но и тут дел на пару минут - вся хитрость в том, что нужно умножить всю дробь на комплескно-сопряженное к знаменателю. Это позволит нам избавиться от комплексного числа в знаменателе. "Комплексно-сопряженное" - это число, у которого изменен знак мнимой части. Чаще всего обоозначается звездочкой в верхнем индексе:

Решение зада по электротехнике - Умножение и деление комплексных чисел

Трюк в том, что, если умножить любое комплексное число на его сопряженное, то мы всегда получим сумму квадратов двух чисел (можете проверить это, подставив комплексно-сопряженные числа в пример умножения, описанный выше):

Решение зада по электротехнике - Умножение и деление комплексных чисел

Зная это, можно легко делить два числа в алгебраической форме:

Решение зада по электротехнике - Умножение и деление комплексных чисел

Вот и все. Подведем итоги, записав алгоритм действий

Для комплексных чисел в показательной форме при их умножении:

  • Перемножаем модули чисел.
  • Складываем аргументы чисел (углы в градусах или радианах)
  • Записываем результат.

  • Для комплексных чисел в показательной форме при их делении:

  • Делим модули чисел.
  • Вычитаем аргумент знаменателя (делителя) из аргумента числителя (делимого)
  • Записываем результат.

  • Для комплексных чисел в алгебраической форме при их умножении:

  • По правилам арифментики раскрываем скобки, обращая особое внимание на момент, когда мнимая единица возводится в квадрат - тогда это произведение меняет знак.
  • Группируем числа без мнимой единицы в действительную часть числа, с мнимой единицей - в мнимую часть
  • Записываем результат.

  • Для комплексных чисел в алгебраической форме при их делении:

  • Умножаем всю дробь на комплексно-сопряженное к знаменателю
  • Раскрываем скобки в числителе, группируя действительную и мнимую части
  • Вычисляем знаменатель как сумму квадратов двух чисел
  • Делим отдельно действительную и мнимую части числителя на число в знаменателе
  • Записываем результат.