Переходные процессы 2ого рода (второго порядка), пример решения - Классический и Операторный методы

Дано
R=5 Ом;
L=0,01 Гн;
C=2·10-4 Ф;
E=98 В;

Найти
i_C (t)—?(классический метод)
i_C (t)—?(операторный метод — свободные составляющие)
i_C (t)—?(график)

Решение

Схема цепи:

Классический метод.

Расчет характеристического сопротивления цепи p.
Найдем входное сопротивление цепи и приравняем его к нулю. При поиске входного сопротивления считается, что все коммутации произошли, ЭДС заменяется закороткой, источники тока разрывом. Затем любую точку схемы преобразуют в два зажима и считают относительно них сопротивление цепи:


Характер переходного процесса при комплексно-сопряженных корнях определяется выражением:
Находим установившиеся значения требуемых величин. Рисуем эквивалентную схему по прошествии большого количества времени. Ключ сработал, все переходные процессы завершены. На постоянном токе индуктивность эквивалентна закоротке, ёмкость разрыву:

Установившееся значение искомого тока: i_{c уст}=0 А Анализ докоммутационного состояния для нахождения сохраняющихся величин: напряжения на ёмкости и тока через индуктивность. На постоянном токе индуктивность эквивалентна закоротке, ёмкость разрыву.
Схема цепи до коммутации:

Анализ начальных условий нулевого порядка. Рассматривается момент времени сразу после коммутации.
По законам коммутации можно записать:
I_Lпк0=I_Lдк=6,53 А;
U_Cпк0=U_Cд=65,33 В;

Тогда:
I_Rпк0=U_Cпк0/R=65,33/5=13,07 А;
I_Cпк0=I_Lпк0-I_Rпк0=6,53-13,07=-6,53 А;
U_Lпк0=E-RI_Lпк0-U_Cпк0=98-5·6,53-65,33 =0 В.
Анализ начальных условий первого порядка (производных от начальных величин). Рассматривается момент времени сразу после коммутации. Т.к. ЭДС постоянна, а эквивалентная схема рисуется для производных величин, то источник будет отсутствовать.

Определение независимых констант из начальных условий. Запишем выражение для тока через ёмкость для начального момента времени. Также запишем выражение для производной тока через ёмкость в начальный момент времени. Решим систему уравнений, и найдём неизвестные A и φ. i_C(0)=-6,53 А; iC'(0)=6530 А⁄с; i_{C уст}=0 А;
Из второго уравнения следует:

Операторный метод.

Рисуем операторную схему замещения:
Делаем преобразование Лапласа для источника ЭДС:
E(t)=98;
E(p)=98/p;
Начальные значения для тока через индуктивность и напряжения на ёмкости возьмем из предыдущего расчета:
I_L(0)=6,53 А;
U_C(0)=65,33 В;
Найдем потенциал точки a методом двух узлов.
Обозначим не заземленный узел «а», тогда:
Y·U_a=I;
U_a=I/Y,где I — втекающие в узел токи,а Y — проводимость ветвей.


Используя формулу дополнительного угла:
По заданию требуется найти только свободные составляющие тока, но так как его установившееся значение равно нулю, то получен полный ток. Зависимость ёмкостного тока совпадает с полученной классическим методом, что подтверждает правильность расчетов: