Пример решения задачи методом наложения (метод суперпозиции)

Дано
R₁=2 кОм;
R₂=1 кОм;
R₃=4 кОм;
R₄=2 кОм;
R₅=6 кОм;
E₁=60 В;
E₂=100 В;
J = 10 мА.

Найти
Рассчитать токи в цепи методом наложения.

Выберем произвольно направление токов в ветвях и укажем их стрелками на схеме. В схеме 6 ветвей (в=6), 4 узла (у=4), ветвь с идеальным источником тока (к=1) и ветви с идеальными источниками ЭДС . Неизвестных токов в исходной схеме - 5 (в-к=6-1=5)

Найдем токи методом наложения. Для этого представим исходную схему в виде трех дополнительных (рис.1.1, рис.1.2, рис.1.3) , в каждой из которых действует один источник энергии, при отсутствии остальных. По правилу метода, удаление источников производится закорачиванием участка цепи с источником ЭДС и размыканием ветви с идеальным источником тока.

Рассчитаем частичные токи в схеме рис.1.1

По обобщенному закону Ома:

По первому закону Кирхгофа:

Рассчитаем частичные токи в схеме рис.1.2.
Так как ветвь I₂'' с имеет нулевое сопротивление, то в параллельной ей ветви I₄''=I₅'' = 0

По второму закону Кирхгофа:

Рассчитаем частичные токи в схеме рис.1.3.
Найдем токи в ветвях методом контурных токов. Введем контурные токи I₁₁, I₂₂, I₃₃ в независимые контуры цепи и выберем их направление против часовой стрелки (рис.1.4)

Учитывая выбранные направления контурных токов и то, что I₃₃ = J, система уравнений по методу контурных токов примет вид:

Подставим численные значения:

Упростим:

Решим систему методом подстановки.
Из 1-го уравнения системы:

Подставим (1) в 2 уравнение системы:

Найдем токи в ветвях:

Теперь можем определить, согласно метода наложения, токи в исходной схеме:

Отрицательное значение указывает на то, что токи I1 и I3 направлены противоположно выбранным изначально.