Расчёт цепей синусоидального тока («Электрические цепи однофазного синусоидального тока»), построение векторных и топографических диаграмм

В электрической цепи однофазного синусоидального тока, схема и параметры элементов которой заданы для каждого варианта в таблице, определить:
1) полное сопротивление электрической цепи и его характер;
2) действующие значения токов в ветвях;
3) показания вольтметра и ваттметра;
4) построить векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму напряжений для всей цепи.

Дано
E = 130 В;
f = 50 Гц;
R₁ = 9 Ом;
L₁ = 15,9 мГн;
C₂ = 318 мкФ;
L₂ = 9,4 мГн;
R₃ = 8 Ом;
C₃ = 500 мкФ;
Схема 1.5.

Решение

Рисунок 1. Исходная схема цепи Выбираем произвольные направления токов в ветвях. Заменяем измерительные приборы их внутренними сопротивлениями: Рисунок 2. Расчётная схема цепи

Циклическая частота цепи:

ω=2πf=2•3,14•50=314рад⁄с;

Сопротивления реактивных элементов:

X_L1=ωL₁=314•15,9•10^(-3)=4,99 Ом;

X_C2=1/(ωC₂)=1/(314•318•10^(-6))=10,01 Ом;

X_L2=ωL₂=314•9,4•10^(-3)=2,95 Ом;

X_C3=1/(ωC₁ )=1/(314•500•10^(-6))=6,37 Ом;

Общее сопротивление цепи:

Характер входного сопротивления активно-индуктивный, на это указывает наличие действительной части и положительная мнимая часть сопротивления.

Комплекс действующего значения входного напряжения:

E=E•(cosφ+jsinφ)=130•(cos0^o+jsin0^o)=130+0j В;

Действующие комплексные токи в цепи:

I₁=E/Z_вх =130/(10,632+0,669j)=12,179-0,767j=12,203•e^(-4oj) А;

I₂=I₁•((R₃-jX_C3))/(R₃+j(X_L2-X_C2-X_C3))=(12,179-0,767j)•(8-6,37j)/(8+j•(2,95-10,01-6,37))=

=7,631+2,346j=7,983•e^(17oj) А;

I₃=I₁-I₂=12,179-0,767j-7,631-2,346j=4,548-3,113j=5,511•e^(-35oj) А;

Падения напряжения на элементах:

U_L1=I₁•jX_L1=(12,179-0,767j)•4,99j=3,83+60,77j В;

U_R1=I₁•R₁=(12,179-0,767j)•9=109,61-6,90j В;

U_L2=I₂•jX_L2=(7,631+2,346j)•2,95j=-6,92+22,51j В;

U_C2=I₂•(-jX_C2)=(7,631+2,346j)•(-10,01j)=23,48-76,39j В;

U_R3=I₃•R₃=(4,548-3,113j)•8=36,38-24,90j В;

U_C3=I₄•(-jX_C3)=(4,548-3,113j)•(-6,37j)=-19,83-28,97j=35,11•e^(-124oj) В;

Показания вольтметра (измеряющего действующее значение напряжения):

U_V=U_C3=35,11 В;

Показания ваттметра (измеряющего активную мощность):

P_w=Re(E•I₁^*)=Re(130•(12,179+0,767j))=1583,3 Вт;

I^* — сопряженный ток.Например,если I=a+jb,то I^*=a-jb;

Рисунок 3. Топографическая диаграмма напряжений Рисунок 4. Векторная диаграмма токов